오구리의 DevLog

복습하기 위해 학부 수업 내용을 필기한 내용입니다. 이해를 제대로 하지 못하고 정리한 경우 틀린 내용이 있을 수 있습니다. 그러한 부분에 대해서는 알려주시면 정말 감사하겠습니다. 2022.12.10 - [컴퓨터공학/수치해석] - [수치해석] Ch14. Directed Methods - Multidimensional Gradient method은 최적을 찾기 위한 효율적인 algorithm을 생성하기 위해 derivative 정보를 명시적으로 사용한다. ▶Gradients and Hessians 첫 번째 도함수가 0이 되면 최적의 값에 도달한 것이다. 두 번째 도함수의 부호는 양수면 최소, 음수면 최대에 도달한 것이다. 즉, 갈 수 있는 공간 360도 전체 중에서, 가장 경사가 급한 쪽으로 간다. (특히 ..

복습하기 위해 학부 수업 내용을 필기한 내용입니다. 이해를 제대로 하지 못하고 정리한 경우 틀린 내용이 있을 수 있습니다. 그러한 부분에 대해서는 알려주시면 정말 감사하겠습니다. 13장에서 one-dimentional search는 롤러코스터와 같았다. two-dimensional의 경우, 산과 계곡의 이미지가 된다. 미분 평가를 필요로 하지 않는 접근법을 nongradient 방법 또는 direct 방법이라고 한다. 도함수를 필요로 하는 것들을 경사법(gradient) 또는 하강법(또는 상승법)이라고 한다. ▶Random Search brute force 접근의 간단한 예는 random search method이다. 독립 변수의 랜덤하게 선택된 값에서 함수를 반복적으로 평가한다. 충분한 수의 샘플이 수..

복습하기 위해 학부 수업 내용을 필기한 내용입니다. 이해를 제대로 하지 못하고 정리한 경우 틀린 내용이 있을 수 있습니다. 그러한 부분에 대해서는 알려주시면 정말 감사하겠습니다. ▶Optimization 근 찾기와 최적화는 함수의 점을 추측하고 검색하는 것과 관련이 있다. • 근 찾기는 함수의 0을 검색하는 것이다. • 최적화는 여러 변수의 함수의 최솟값 또는 최댓값을 찾는 것이다. f'(x)를 분석적으로 사용할 수 없기 때문에 종종 복잡해진다. 따라서, 때때로 미분을 추정하기 위해 finite-difference approximation을 사용해야 한다. (a) 1차원 최적화 f(x)의 최소화가 -f(x)의 최대화와 어떻게 동일한지를 보여준다. (b) 2차원 최적화 최대화(최대 고도까지 상승) 또는 최..

복습하기 위해 학부 수업 내용을 필기한 내용입니다. 이해를 제대로 하지 못하고 정리한 경우 틀린 내용이 있을 수 있습니다. 그러한 부분에 대해서는 알려주시면 정말 감사하겠습니다. 다항식의 근은 세가지 규칙을 따른다.1. n차 방정식의 경우, n개의 실근과 허근을 가진다.(근들이 반드시 구별되는 것은 아니다.)2. n이 홀수면, 적어도 하나의 실근을 가진다.(complex root(허근)은 +- 한쌍을 가지기 때문에 남는 하나는 실근이 된다.)3. 허근이 존재하면, 한 쌍으로 존재한다.(λ + μi와 λ - μi, i는 root(-1)) ▶Synthetic division 연산을 수행하기 위해 여러 컴퓨터 알고리즘(합성 분할 및 기타 방법에 기반)을 사용할 수 있습니다. n차 다항식을 단항 인자 (x - ..

복습하기 위해 학부 수업 내용을 필기한 내용입니다. 이해를 제대로 하지 못하고 정리한 경우 틀린 내용이 있을 수 있습니다. 그러한 부분에 대해서는 알려주시면 정말 감사하겠습니다. ▶Open Method bracketing method (아래 그림 6.1a) bracketing method와 다르게, open method는 x 하나만 있거나 또는 반드시 근을 괄호로 묶지 않는 두 개의 시작 값만 필요한 공식을 기반으로 한다. 때때로 계산이 진행됨에 따라 근으로부터 분리되거나 멀어진다(아래 그림 6.1b). 그러나, 개방형 방법들이 수렴될 때(아래 그림 6.1c), 그들은 보통 bracketing method보다 훨씬 더 빠르다. ▶Simple Fixed-Point Iteration f(x) = 0 → x ..

복습하기 위해 학부 수업 내용을 필기한 내용입니다. 이해를 제대로 하지 못하고 정리한 경우 틀린 내용이 있을 수 있습니다. 그러한 부분에 대해서는 알려주시면 정말 감사하겠습니다. ▶False-Position Method 비록 bisection이 근을 결정하는 데 완벽하게 유효한 기술이지만, "brute-force" 접근법은 상대적으로 비효율적이다. bisection의 단점은 xl에서 xu까지의 간격을 같은 반으로 나눌 때 f(xl)와 f(xu)의 크기를 고려하지 않는다는 것이다. 예를 들어, f(xl)가 f(xu)보다 0에 훨씬 가깝다면, 루트는 xu보다 xl에 더 가까울 가능성이 높다. step 1 근이 있다고 추측되는 lower xl과 upper xu를 범위로 지정한다. f(xl) * f(xu) < ..

복습하기 위해 학부 수업 내용을 필기한 내용입니다. 이해를 제대로 하지 못하고 정리한 경우 틀린 내용이 있을 수 있습니다. 그러한 부분에 대해서는 알려주시면 정말 감사하겠습니다. ▶Roots of Equations 방정식의 근을 구하는 가장 심플한 방법 : Trial and Error (시행착오)-> 비효율적이고 엔지니어링 관행의 요구 사항에 적합하지 않다. 정의에 따르면, y = f(x)가 주어진 함수는 fi = i차 다항식 x인 형태로 표현될 수 있다면 algebraic이다.(algebraic function : 대수 함수) 다항식은 일반적으로 n = 다항식의 순서와 a의 = 상수로 표현되는 대수 함수의 단순한 클래스이다. 대수 함수 (algebraic function)f2(x) = 1 - 2.37x..

복습하기 위해 학부 수업 내용을 필기한 내용입니다. 이해를 제대로 하지 못하고 정리한 경우 틀린 내용이 있을 수 있습니다. 그러한 부분에 대해서는 알려주시면 정말 감사하겠습니다. ▶Taylor Series 도함수 평균값 정리는 함수 f(x)와 그 첫 번째 도함수가 xi에서 xi+1까지의 구간에서 연속된다면, f(xi)와 f(xi+1)를 연결하는 선과 평행한 f'(ξ)로 지정된 기울기를 갖는 함수 위에 적어도 하나의 점이 존재한다. 도함수 근사치의 오차는 단계 크기에 비례해야 한다. 단계 크기를 절반으로 줄이면 도함수의 오차를 절반으로 줄일 수 있을 것이다. 차이가 줄어들수록 차이가 줄어들 것이다. 또한 충분히 작은 h 값에서 오차는 h^2에 비례해야 한다. 즉, 오차가 절반으로 줄어들면 오차는 4분의 1..

복습하기 위해 학부 수업 내용을 필기한 내용입니다. 이해를 제대로 하지 못하고 정리한 경우 틀린 내용이 있을 수 있습니다. 그러한 부분에 대해서는 알려주시면 정말 감사하겠습니다. ▶Truncation Errors Truncation Error는 정확한 수학적 절차 대신 근사치를 사용하여 발생하는 오류이다. ▶The Taylor Series 함수 값과 다른 점에서의 파생물 측면에서 한 점에서 함수 값을 예측하는 수단을 제공한다. 한 점을 추정(근사)할 때, 다른 지점의 미분 값으로 그 값을 추정할 수 있다. 모든 smooth 함수가 다항식으로 근사될 수 있다. 식은 직선 형태로 되어 있으며, xi와 xi+1 사이의 함수의 증가 또는 감소를 예측할 수 있다. n을 크게 하면 할수록 오차가 줄어든다. xi와 ..

복습하기 위해 학부 수업 내용을 필기한 내용입니다. 이해를 제대로 하지 못하고 정리한 경우 틀린 내용이 있을 수 있습니다. 그러한 부분에 대해서는 알려주시면 정말 감사하겠습니다. ▶Floating-Point Representation 분수량은 일반적으로 부동소수점을 사용하여 컴퓨터에서 표현된다. 숫자는 mantissa 또는 significant라고 불리는 분수 부분과 지수 또는 특성이라고 불리는 정수 부분으로 표현된다. m * b^e에서처럼, m = 맨티사, b = 사용 중인 숫자 시스템의 base, e = 지수. 예를 들어, 156.78이라는 숫자는 부동소수점 베이스-10 시스템에서 0.15678 * 10^3으로 나타낼 수 있다. 무리수는 정확하게 나타낼 수 없다. 집합의 값 중 하나와 정확히 일치하지..

복습하기 위해 학부 수업 내용을 필기한 내용입니다. 이해를 제대로 하지 못하고 정리한 경우 틀린 내용이 있을 수 있습니다. 그러한 부분에 대해서는 알려주시면 정말 감사하겠습니다. ▶해석적 문제 해결 (Analytical Solution) ▶수치해석적 문제 해결 (Numerical Solution) ▶해석적 방법 vs 수치해석적 방법 해석적 값은 주어진 식에 대입해서 값이 정확하다. 수치해석적 값은 컴퓨터가 계산하기 편하도록 식을 줘서, 값이 정확하지 않다. (근사) 해석적 방법에 비해 수치해석적 방법은 대부분 오차(Error)가 발생한다. Round-Off Error, Truncation Error 두 가지의 오차가 있다. 수치해석은 오차와의 전쟁이다. (어떻게 오차를 줄일지 생각) Round-Off E..